ベルトランのパラドックスがよく理解できるJavascriptシミュレーターの作成

ベルトランのパラドクス（ベルトランの逆説）というものがあります。超簡潔に言えば「ランダム」ってなんだ？という「確率の定義」に関する話です。今回はJavascriptでシミュレータを作りました。

ベルトランのパラドックスとは

とある円とそれに内接する正三角形がある。この円のランダムに弦を引いたとき、弦が正三角形の１辺よりも、長くなる確率はいくらか。

という問題がベルトランのパラドクス（ベルトランの逆説 / Bertrand paradox）です。

結論から言うと、答えは３つあり、「ランダムな弦の引き方」によって、1/2、1/3、1/4、というものです。

一体どの答えが正解なのか・・・ということです。

３つの答えについて

case:1 （答えが1/3になる考え方）

円周上に、ランダムに位置する2点を定め、弦を引く場合。この場合に答えが1/3になる。

case:2 （答えが1/2になる考え方）

The “random radial point” method:

円の半径をランダムに選んで、その半径上にランダムで点（つまり極座標でいうところの、rとθがランダム）を定め、その点を通り、半径に垂直な弦を引く場合。この場合に答えが1/2になる。

case:3 （答えが1/4になる考え方）

The “random midpoint” method:

円の内部にランダムに点を定め、その点が中点となるような弦を引く場合。この場合に答えが1/4になる。

理論的になぜそうなるのか

理論的な計算方法やその解説はベルトランの逆説 – Wikipedia等のわかりやすいサイトでご確認ください！

実際にそうなるのか

Javacriptシミュレーター

というわけで、実際に上記3パターンでプログラムを組んだ場合に、本当にそのとおりの確率になるのか調べるためにプログラムをJavascriptで作りました。

https://1-10000th.com/bertrand_paradox/

使い方・仕様

ランダムな弦の数、アニメーション速度、弦の太さ、弦の中点の点の半径、各種カラーを設定して、スタートを押します。スマホにも対応しています。

著作権とか

授業とかで自由に使っていただいて結構です（ただし、デバッグはあまりしていません）。コメントいただけると私が喜びます。

結果 | Case1: The “random endpoints” method

弦を2000本Case1の方法でランダムに引いた結果です。0.33350という数字が確率です。

左の円が弦を表示、右の円が弦の中点をプロットしたものです。

結果 | Case2: The “random radial point” method

弦を2000本Case2の方法でランダムに引いた結果です。0.50850という数字が確率です。

左の円が弦を表示、右の円が弦の中点をプロットしたものです。

結果 | Case3: The “random midpoint” method

弦を2000本Case3の方法でランダムに引いた結果です。0.24000という数字が確率です。

左の円が弦を表示、右の円が弦の中点をプロットしたものです。

結果の比較

全部一気に表示すると上記になりました。

学問的な考察は省略しますが、図に注目してもらうと、円に「ランダムに弦を引く」という目的に対し、それぞれ偏りがあることがあることがわかると思います。

ぜひ、シミュレータページで試してください。

まとめ

ものすごく大雑把に言うと、「ランダムに弦を引く」という問題は、実は問題として曖昧（学問的に言うと「確率空間の定義が曖昧」）で、場合によっては確率は変わってしまいますよ。ですから確率を見るときは、場合によってはちゃんと条件（確率空間）を確認してね！ということです。おそらく！

Javascriptのソースコードの説明はまた機会があったら。